martes, 4 de junio de 2013

figuras imposibles

CREACIÓN DE FORMAS IMPOSIBLES


Para este apartado nos inventaremos una forma imposible para más tarde realizar un diseño con ella.
Pero antes de nada debemos saber..

Una figura imposible es

Este tipo de figuras juega con nuestra percepción dibujando en dos dimensiones representaciones de objetos que sería imposible observar en tres dimensiones. Por otro lado, esta característica las convierte en figuras que pueden resultar muy interesantes.
En muchas de las páginas de Internet en que se habla acerca de figuras imposibles, más tarde o más temprano sale a relucir el nombre de M.C. Escher, un artista gráfico holandés con una habilidad admirable para las matemáticas (en particular, la geometría), que le permitió crear muchas imágenes de este tipo y otras que plantean retos mentales al observador.


Nosotros para este trabajo tomaremos figuras geometrías como referente, para la creación de nuestra figura imposible. la colocaremos de forma que creen un a ilusión óptica creando diferentes perspectivas en una misma ante el ojo humano, siendo esta figura imposible de construir en la realidad

Una vez ya obtenida la figura deseada, en la cual podemos ver las distintas perspectivas en la misma figura, procederemos a tratarla para acoplarla a un diseño.




 Ya una vez aplicado el color a nuestra figura imposible , le buscaremos una utilidad para aplicarla al diseño gráfico.





lunes, 27 de mayo de 2013

FIGURAS EQUIVALENTES

9. Relaciones geométricas

Para la construcción y réplica de distintas figuras o piezas, se ha de conocer las relaciones geométricas que pueden darse. Por tanto, es muy oportuno saber definir y distinguir elementos que tengan las características de: igualdad, equivalencia, semejanza, escalas y simetría.
Aunque el conocimiento de todas estas relaciones es muy conveniente, el apartado de ESCALAS (normalización, construcción y empleo), es de suma importancia sobre todo para los dibujos de aplicación industrial.
Distribución:
  1. Igualdad.
  2. Equivalencia.
  3. Semejanza.
  4. Escalas.
  5. Simetrías.

Desarrollo


9.1. Igualdad

Se considera que dos figuras planas son IGUALES, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de tal forma que, superponiendo una figura sobre la otra, ambas coinciden.
A menudo es necesario trasladar una figura plana de un lugar a otro, por lo que es conveniente conocer algún procedimiento para realizar una “copia” de esa figura.
Los procedimientos existentes son:
  • Por triangulación
  • Por perpendiculares
  • Por arcos o de rodeo
  • Por radiación
.

9.2. Equivalencias

Dos figuras son equivalentes cuando teniendo diferente forma tienen igual superficie, es decir, el área de las dos figuras es igual.
De la misma forma, dos cuerpos geométricos son equivalentes cuando, teniendo 

Figuras equivalentes

Podemos llamar figuras equivalentes a aquellas que tienen la misma area.

formas distintas, sus volúmenes son iguales.
Existen numerosos procedimientos para buscar figuras equivalentes a otras, pero nos centraremos en las siguientes propuestas:
  • Triángulo equivalente a un polígono irregular dado
  • Cuadrado equivalente a un rectángulo dado

9.3. Semejanza

Se dice que dos figuras son semejantes cuando los ángulos homólogos (de la misma forma) son iguales mientras que los lados homólogos son proporcionales.









9.4. Escalas

A menudo nos encontramos que tenemos que representar dibujos excesivamente grandes para poderlos situar en láminas o planos. Otras veces, el objeto es demasiado pequeño y no habrá condiciones suficientes para que quede bien representado. En estos casos es necesario aplicar una escala.
Por lo comentado, tenemos escalas de reducción y escalas de ampliación. La escala natural, E=1:1 (se dice, escala uno es a uno), representa los objetos con las medidas reales.
La escala es la relación existente entre las dimensiones de un dibujo y las dimensiones reales del objeto representado.
.








En el apartado de escalas hay varios conceptos que debemos tener claros:
  • Tipos de escala
  • Cambios de escala
  • Escalas normalizadas
  • Escalas gráficas
.

9.5. Simetrías

Se dice que dos figuras son simétricas respecto a un punto (simetría central o simetría radial) o respecto a una recta (simetría axial) cuando al girar una de las figuras sobre el punto o la recta (llamada eje de simetría) respectivamente, ambas figuras coinciden.
.
Como se ha comentado, tenemos dos tipos de simetría:
  • Simetría central o simetría radial
  • Simetría axial








Una vez tenidas en cueta estas definiciones , nos centraremos en la composición del diseño  basandonos el la composición de triángulos semejantes entre ellos.


En el caso de los triángulos podemos decir que Triángulos equivalentes: si tienen la misma base, han de tener la misma altura para que sus áreas sean iguales. Por tanto basta con hacer una horizontal (paralela a la base) y por cualquier punto de esta recta colocar el vértice del nuevo triángulo.


Triangulos





Teniendo en cuenta esto, lo tomaremos como modelo para nuestro diseño para una marca de moda, donde podemos observar como se cumple la equivalencia.





El sistema diédrico aplicado al diseño gráfico

¿Que significa sistema diédrico?

El sistema diédrico es un método de representación geométrico de los elementos del espacio tridimensional sobre un plano, es decir, la reducción de las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando una proyección ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente. Para generar las vistas diédricas, uno de los planos se abate sobre el segundo.
Es un método gráfico de representación que consiste en obtener la imagen de un objeto (en planta y alzado), mediante la proyección de haces perpendiculares a dos planos principales de proyección, horizontal (PH) y vertical (PV). El objeto queda representado por su vista frontal (proyección en el plano vertical) y su vista superior (proyección en el plano horizontal); también se puede representar su vista lateral, como proyección auxiliar.

Si se prescinde de la línea de tierra, se denomina sistema diédrico directo.

Planos proyectantes principales
Los dos planos proyectantes principales son el Horizontal y el Vertical. Su intersección se denomina Línea de tierra.
  • Plano Horizontal (PH): contiene la proyección horizontal o planta Está subdividido por la Línea de tierra (LT) en: Plano Horizontal Posterior (detrás) y Plano Horizontal Anterior (delante).
  • Plano Vertical (PV): contiene la proyección vertical o alzado. Está subdividido por la Línea de Tierra en: Plano Vertical Superior (arriba) y Plano Vertical Inferior (abajo).

Las tres proyecciones ortogonales principales: frontal, superior y lateral (alzado, planta y perfil).
Normalmente, sólo se usan los planos PH y PV, que se cortan en la Línea de tierra (LT) dando origen a una subdivisión del espacio en cuatro ángulos diedros o cuadrantes.
También se utiliza, como plano auxiliar, el denominado:
  • Plano de Perfil (PP): contiene la proyección lateral izquierda (o derecha).
Planos bisectores
Los dos planos bisectores son aquellos que dividen a los cuadrantes en dos octantes de 45º cada uno. El primer bisector está en el primero y tercer cuadrante y el segundo bisector en el segundo y cuarto cuadrante.
Para representar en dos dimensiones (sobre un papel) las vistas principales en el sistema diédrico, se realiza un abatimiento, que consiste en girar, tumbar, o abatir un plano principal de tal manera que el Plano Horizontal (PH) se superponga al Plano Vertical (PV).

Representación de un punto
Un punto situado en el espacio se representa mediante sus dos proyecciones (a modo de sombras) sobre los planos principales: proyección horizontal y proyección vertical.
Cota
Se denomina cota de un punto del espacio a la distancia entre él y su proyección en el plano horizontal, o lo que es lo mismo la distancia entre la proyección vertical y la línea de Tierra (LT). Es decir, su distacia en el eje Z.
Alejamiento
Se denomina alejamiento de un punto del espacio a la distancia entre él y su proyección en el plano vertical, que equivale a la distancia entre la proyección horizontal y la línea de Tierra (LT). Es decir, su distancia en el eje Y.
Lateralidad
Se denomina lateralidad de un punto del espacio a su situación (derecha o izquierda) respecto a la línea de tierra (LT). Es decir, su distancia en el eje X.
Determinación por coordenadas
Un punto puede determinarse por coordenadas. El origen de este sistema será la intersección de los planos principales: horizontal, vertical y de perfil.
  • El eje X está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y vertical, es decir, sobre la Línea de tierra.
  • El eje Y está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y de perfil.
  • El eje Z está determinado por la recta intersección de los planos vertical y de perfil.
Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b40 773-3.jpg
Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b40 773-4.jpg
Representación de una recta
Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. La proyección de una recta sobre un plano es otra recta, formada por la proyección de todos los puntos de ella. Conociendo las parejas de proyecciones de dos puntos de una recta, se obtiene la proyección uniéndolos.
Trazas de una recta
Las trazas de una recta son los puntos de intersección con los planos principales (PV y PH)
Representación de un plano
Un plano está definido mediante sus dos trazas: la vertival y lahorizontal. Las trazas de un plano son las rectas de intersección con los planos principales (PV y PH).
Una recta  pertenece a un plano, si la traza vertical de la recta es un punto de la traza vertical del plano y, además, la traza horizontal de la recta es un punto de la traza horizontal del plano.
Abatimientos
Para obtener, en verdadera magnitud, la representación de una figura contenida en un plano cualquiera, se abate dicho plano sobre uno de los principales.
Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b40 774-3.jpg
Representación de un volumen geométrico
Un cuerpo geométrico se representa mediante la proyección de sus aristas, sus generatrices extremas, o su contorno (esfera). Las aristas o generatrices más próximas al punto de vista se representan como segmentos de trazo continuo, y las posteriores, u ocultas, mediante segmentos de trazo discontinuo. Las zonas seccionadas se indican mediante trazos paralelos inclinados.
Representación de una circunferencia
Perspective isometrique exemple piece revolution.svg
La proyección de una circunferencia es, generalmente, una elipse. Será otra circunferencia semejante si está contenida en un plano paralelo a uno principal. Puede ser un segmento si está de perfil respecto de un plano principal, siendo su longitud la del diámetro.
Diferentes sistemas
Según como estén reflejadas las proyecciones en el plano del dibujo, existen dos sistemas de representación:
  • Sistema europeo: Las proyecciones se recogen tras el objeto. Son vistas en el primer cuadrante.
  • Sistema americano: Las proyecciones se reflejan desde el objeto. Son vistas en el tercer cuadrante.
Aunque en ambos sistemas las proyecciones (representaciones del objeto) son exactamente las mismas, su disposición en el plano del dibujo es la inversa.




Una vez que ya sabemos la teoria, procederemos a crear nuestra propia representación, para mas tarde crear nuestro diseño aplicado a las matemáticas.







Lo que hemos hecho , ha sido proyectar cada uno de sus lados partiendo de unos ejes, atravez de paralelas de cada uno de sus lados siendo cortados estos por los vertices que daran forma a la proyección de la figura.




Una vez tenemos la formula matemática procederemos a la creación de la composición de diseño gráfico con componentes matemáticos, como podemos observar en este cartel publicitario.






Homologia


En este apartado  veremos la homologia aplicada a diseños gráficos, para ello debemos de entender que es la homología y en que consiste para finalmente crear la composición gráfica.


Homología
La proyección de dos figuras planas que se encuentran en planos distintos, desde un punto exterior a los dos planos. Muy utilizada para hallar secciones de cuerpos como piramides y conos.











Para la creación de la composición que encontraremos al final de todo , seguiremos un proceso detallado, para que se entienda la homologación que realizamos con cada figura.









Para realizar esta composición realizaremos las figuras geométricas que deseemos , a continuación  lla linea de eje , y el punto 0, una vez tengamos esto, trazamos una recta que sea paralela a la figura de modo que los dos vértices inferiores queden unidos al eje y formen los puntos F=F´ , M=M´ desde estos puntos lanzaremos unas lineas que se unan en la linea L y desde esta al punto 0 . Por otro lado uniremos los vértices de las dos figuras con el punto 0 mediante rectas, y ahora es cuando podemos observar las intersecciones que forman las lineas que parten de la linea eje y las que parten de los vértices, en estas intersecciones crearemos los puntos A,B,C,D que darán lugar a una proyección de la figura inicial , proporcionándonos el resultado deseado.




Una vez que hemos conseguido el resultado buscado podemos crear la composición aplicada al diseño gráfico, mostrando que las matemáticas y el diseño son totalmente compatibles nuevamente, como se muestra en esta portada de cd para el grupo The Marmales en el que aplicamos el ejercicio realizado.
















jueves, 25 de abril de 2013

FORMAS PLANAS

COMPOSICIÓN CON FORMAS PLANAS

la forma es la apariencia exterior de los cuerpos de la naturaleza; los objetos,los animales, los eificios, los seres humanos. Cada forma posee ciertas cualidades que las distinguen de las demás y que son : Color, textura, tamaño y estructura.

Las formas planas son elementos visuales que utilizan para crear imágenes.
Las formas planas sencillas son el triángulo, el círculo y el cuadrado.

Tamaño
El tamaño de una forma se refiere a su magnitud, y se califica mediante términos como pequeño, mediano, grande, etc. Para determinar si una forma es grande o pequeña, comparamos su tamaño con el de las formas que tiene alrededor, y también con el tamaño del ser humano.

La estructura
La estructura o configuración de una forma se refiere a la organización de las partes que la componen.

Tipos de formas
Existen varias maneras de clasificar las formas. Las separaremos en tres grupos, aunque una forma cualquiera puede pertenecer a varios grupos a la vez:

1.Formas naturales o formas artificiales
2.Formas lanas o formas con volumen
3.Formas orgánicas o formas geométricas

Formas naturales o formas artificiales

Formas naturales
Son las que vienen de la naturaleza,como una nube o una flor.
Formas artificiales
Son las que han sido construidas por el hombre, como por ejemplo un dibujo o un coche.

Formas planas o con volumen

La forma plana
Son aquellas que tienen dos dimensiones , altura y anchura, como una hoja de papel.
La forma con volumen
Son las que tienen tres dimensiones; altura, anchura y profundidad como una pelota.

Formas orgánicas o geométricas

Forma orgánica 
Son las que tienen su perfil irregular y pueden ser naturales, los arboles montañas etc.
Formas geométricas
Se construyen con un orden matemático.Son formas geométricas, un cuadrado, un dibujo arquitectónico o una estrella de mar.

Para este trabajo tomaremos las formas planas para crear una composición matemática aplicada al diseño gráfico.Para ello construiremos diferentes formas asta llegar al diseño final que queremos conseguir.

Espiral logarítmica
Es aquella que tiene sus radios crecientes en progresión geométrica y que esta formada por triángulos rectángulos semejantes superpuestos en los que la hipotenusa de cada uno es el cateto siguiente.
Los triángulos rectángulos se apilan unos sobre los otros por una rotación más dilatación en la que el vértice del primero es el centro invariante de todos los demás triángulos que se van generando.



La espiral arquimediana crece sumando siempre una unidad sobre el número anterior, 1,2,3,4,5,6 etc. Es lo que se llama una progresión aritmética mientras que en la espiral logarítmica tenemos que multiplicar el punto anterior por uno dado para obtener el siguiente número por ejemplo 2x2 igual a 4,4x2 igual a 8,8x2 igual a 16, etc.., es lo que se llama una progresión geométrica.

Triángulo


Un triángulo es una figura plana formada por tres rectas a las que se les llama lados. Cada par de lados forman un ángulo, la suma de los tres ángulos del triángulo es 180°.

En un triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la diferencia.
Clasificación: un triángulo escaleno tiene todos sus lados y ángulos desiguales, el equilátero los tiene todos iguales, y el isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.
Respecto a los ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos si sus tres ángulos son agudos (menores de 90°), son rectángulos cuando tienen un ángulo recto (de 90°) y son obtusángulos cuando uno de sus ángulos es obtuso (que quiere decir que tiene un ángulo mayor de 90°).
Elementos de un triángulo:
La mediatriz es la recta perpendicular en el punto medio del lado del triángulo. Las tres mediatrices del triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.
La mediana de cada lado es la recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto de intersección llamadobaricentro.
La bisectriz de un ángulo es la recta que divide al mismo en dos partes iguales. La intersección de las tres bisectrices del triángulo es un punto llamado incentro.
La altura de un triángulo es la recta perpendicular desde un vértice del triángulo al lado opuesto. La intersección de las tres alturas del triángulo es un punto llamado ortocentro




Para calcular un triángulo cualquiera dados sus dos lados a b y el ángulo g comprendido entre ellos basta con unir los extremos de los segmentos dados obteniendo el nuevo lado c del triángulo

Rectángulo

Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados.
Clasificación:
Los paralelogramos son los que tienen los lados opuestos paralelos, dos a dos. Se clasifican encuadrados (tienen los cuatro lados iguales y forman entre sí 90°), rectángulos (tienen cada conjunto de dos lados iguales y paralelos y forman todos entre sí 90°), rombos (tienen cada par de lados iguales entre sí alternando un ángulo igual y otro desigual. Sus diagonales son distintas y perpendiculares) y romboides (tienen cada par de dos lados iguales y paralelos, sus diagonales son distintas, y no forman 90° entre ellas).
Trapecios son los cuadriláteros que tienen dos lados paralelos entre sí. Se clasifican enrectángulos (tienen dos lados paralelos y dos ángulos rectos, sus diagonales son distintas y oblicuas), isósceles (tienen dos lados paralelos y sus ángulos son iguales dos a dos, sus diagonales son oblicuas e iguales) y escalenos (tienen los ángulos distintos y dos lados paralelos, sus diagonales son distintas y oblicuas).
Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo







Para construir un rectángulo dados los dos lados a b, se colocan ambos ortogonalmente a partir del inicio de sus extremos y a continuación por cada uno de los otros extremos se hacen rectas paralelas c d a ambos, estos nuevos lados son en consecuencia también ortogonales.


Otra forma de construcción es sabiendo su diagonal y un lado





Composición


En esta composición podemos observar los polígonos mencionados anteriormente , acompañado de circunferencias, que una vez se cruzan con estos generan diferentes ángulos, como los siguientes;


Una vez estudiado todas las formas, su creación , es hora de aplicar el diseño a estas, la distribución se ha colocado recordando a la estética constructivista, y a continuación se muestra la composición completamente terminada, mediante las formas previamente creadas matemáticamente.






martes, 16 de abril de 2013

LA PROPORCIÓN ÁUREA 





¿Que es la proporción áurea?

Su nombre tiene algo de mítico porque suena mucho más de lo que realmente se le conoce. Se le llama también divina proporción, número de oro, regla dorada, etc. Su construcción y uso no es nada complicado, lo que pasa es que es mucho más inmediato hacer una proporción estática, basada en la igualdad, como dividir algo por un número entero, lo mismo que establecer un ritmo de crecimiento a partir de por ejemplo la duplicación: 1, 2, 4, 8, 16... En el mundo de la informática es lo usual, y cuando nos condicionan factores materiales, espaciales, físicos, la cuadrícula es la forma más cómoda de adaptarse a estos condicionantes. Sin embargo en la naturaleza se manifiestan otras organizaciones formales y principios proporcionales mucho más interesantes como modelo para el trabajo creativo.
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.

Historia
Se dice que los primeros en utilizar la sección áurea fueron los egipcios y posteriormente los griegos, sin embargo fue asta el siglo  XV cuando Lucca Paccioli publica "De Divina Proportione" colaborando Leonardo Davinci en la parte gráfica. Este libro dejaba ver a la luz pública el secreto entre estética y las matemáticas.
Investigadores fueron luego encontrando esa proporción exacta en una infinidad de hechos naturales como la disposición y el número de las hojas en un tallo, la distancia entre las espirales de una piña, la relación de distancia  en las espirales  de las conchas de los moluscos. Pero no solo se encontró en la naturaleza si no que también en el ser humano , en la escultura, la música, arquitectura y prácticamente en todas las facetas artísticas.

La sección Áurea en el diseño
La sección Áurea asi como otros criterios de organización  reticular sirven en el ámbito del diseño para establecer una proporción, un orden y un equilibrio entre los elementos de una composición.
Este criterio es normalmente aplicado al mundo del diseño y decimos normalmente porque en algunos casos se puede llegar a utilizar el desequilibrio intencionado para conseguir algún efecto específico.

Retícula Áurea
A continuación se muestra un ejemplo de la  proporción Áurea aplicado al diseño gráfico, y como con ello conseguimos un perfecto equilibrio en la composición.



Creación de la retícula




Elaboración del diseño basándome en la retícula Áurea




Resultado final




Diseñar retículas con base en principios tan básicos como la regla de los tercios o la sección áurea no se traduce solamente en "hacer más bonito tu diseño", sino en incrementar legibilidad de él.